你一定有过等公交车的经历，少数情况下公交车很快就来了，大多时候苦等十几甚至几十分钟都等不到需要的那班车，可是看看站台上的车目表，发车时间间隔通常仅为5——10分钟！为什么我这么倒霉，每次都要等上这么长时间呢？别急，其实这种现象很常见。
苦等公交车时，你一定深深怀疑过公交车的发车时间间隔，如果它真的按照要求的时间发车，怎么可能需要等上这么长时间呢？让我们来检查一下，公交车是否真的按时发车了。
假设公交车的发车间隔是10分钟，也就是说，每两辆车都会间隔10分钟到达站台。这样的话，上一班公交车可能在你到达前5分钟离开，那么你需要等5分钟，也可能车子刚刚离开，你要等上10分钟，还有的时候可能刚刚好赶上下一班公交车，可以算出，理想情况下，平均等车时间为5分钟。但是我们知道，真实生活中，公交车会遇上堵车、意外而迟到或者因乘客较少而早到的情况，到站间隔时间不可能正好为10分钟，这些时候我们的等车时间会怎样变化呢？
因为发车时间为10分钟，1小时里一定会有6辆公交车出发，我们可以认为，1小时里每一个站台都一定会来6辆车。但这些车的到达时间并不一致，假设其中4辆到达间隔为5分钟，另外两辆到达间隔就为20分钟，我们既可能遇到到得快的车，也可能遇上到得慢的车。在第一种情况中，乘客们的平均等车时间可以算出是2.5分钟，第二种情况则平均需要等10分钟。也许你还会想，第一种情况的车更多，因此我们遇上快车的几率更大，平均等车时间会比5分钟更少。
事实真的如此吗？看看钟表，你更能搞清楚真相。虽然慢车只有两辆，但它们的到达时间间隔为20分钟，这意味着在整整40分钟的时间里，仅有两辆驶得慢的公交车到站，要遇上快车，则需要在另20分钟到达车站。那么，你到达车站的时候，是遇上快车的几率大还是慢车的呢？很明显，遇上慢车的几率为40/60，遇上快车的几率则仅有20/60。考虑到等到两种车的几率大小后，我们可以算出等车的平均时间了：2.5×20/60+10×40/60=7.5分钟。如果继续假设其他间隔时间，我们可以发现，慢车的到达时间越长，算出的平均等车时间也会更长，甚至能达到数十分钟。
这就解释了为什么公交车明明准点发车，乘客却苦苦等不到车的原因：当有一辆车到达时间晚点时，人们的平均等待时间会变长。而且，由于多数人会出现在等待时间更长的时段里，也就会有更多人感觉自己的等车时间很长。
苦等公交车背后的数学规律被统计学家称为检查悖论，指的是观察量的出现概率与观察量自身相关，导致得出的结果有所偏差的现象。类似的故事在现实生活中还有很多：两条公路总是选到堵车的那条、走到路口时总是遇到红灯、选择队伍总是排到更长的一队等，我们为什么总是这么“倒霉”？
当你站在一个岔路口时，你面临着向左转或向右转的选择，而你选择左转或右转的概率有多大呢？你可能会认为这是一个随机的选择，两个方向的选中概率是均等的。但是，在日常生活中，我们对道路的选择实际上依赖于过往的经验，我们会判断哪条路能更快到达终点、遭遇堵车的可能性是否更大等，依据判断，选中其中一个方向的概率就会远大于另一个方向。而大多数人对道路的判断是相似的，也就是说，会有更多的人选中同一道路，这样的话，堵车的概率不就比不堵车的要高得多吗？统计学告诉我们，大多数人都会行驶在有更多车的路上，当我们再去询问人们，是否常常遭遇堵车时，也就会有更多人的答案是肯定的，平均来看，人们的堵车概率就大大增加了。同样的道理，在路口遇到红灯、选中更长的队伍的人更多也不足为奇。
调查悖论不仅能帮助我们理解“霉运”，运用这个规律，我们还能追踪疾病的传播源头。根据检查悖论，你的朋友往往比你本人拥有更多的朋友：假设有9个人，其中6人每人有4个朋友，另外3人每人有12个朋友。你一开始并不认识这9个人，要与他们成为朋友，哪几个人的概率更大一些？与等公交车相似，并不是朋友数量较少而总人数较多的那6人更容易成为你的朋友，而是另外3人。想想很简单，你更有可能跟朋友更多的人交朋友，因为他们的人际关系网范围更大，容易结识更多的人，成为你的朋友的概率更高。
那么，如何运用这个规律追踪传染疾病源头呢？科学家们曾经在美国哈佛大学的学生中做过一个实验，随机选择一群人，再由这些人各自选择一位朋友，这群朋友构成第二群人。根据检查悖论，第二群人的朋友要比第一群人多，他们的交际活动更多，据此推断，第二群人在流行病爆发的时候更容易或更早被感染。流行病学调查结果证实了这一推断，流行病在第二群人中爆发的时间比第一群人的确实早了大约两周。更早找出疾病源头，这对于流行病预防和免疫研究具有重大意义。
生活中，类似“等不到的公交车”这样的错觉还有很多，它们可能会在不知不觉中改变我们的心态，影响我们的生活。但其实，这些所谓的“倒霉事”背后不过是简单的数学规律，改变自己惯常的认知习惯，运用数学规律，可以帮助我们解决大问题。